godambe {weightedScores}

INVERSE GODAMBE MATRIX

Description

Inverse Godambe matrix.

Usage

godambe(param,WtScMat,xdat,ydat,id,tvec,margmodel,link)
godambe.ord(param,WtScMat,xdat,ydat,id,tvec,link)

Arguments

param

The weighted scores estimates of regression and not regression parameters.

WtScMat

A list containing the following components. omega: The array with the \Omega_i,\,i=1,\ldots,n matrices; delta: The array with the \Delta_i,\,i=1,\ldots,n matrices; X: The array with the X_i,\,i=1,\ldots,n matrices.

xdat

(\mathbf{x}_1 , \mathbf{x}_2 , \ldots , \mathbf{x}_n )^\top, where the matrix \mathbf{x}_i,\,i=1,\ldots,n for a given unit will depend on the times of observation for that unit (j_i) and will have number of rows j_i, each row corresponding to one of the j_i elements of y_i and p columns where p is the number of covariates including the unit first column to account for the intercept (except for ordinal regression where there is no intercept). This xdat matrix is of dimension (N\times p), where N =\sum_{i=1}^n j_i is the total number of observations from all units.

ydat

(y_1 , y_2 , \ldots , y_n )^\top, where the response data vectors y_i,\,i=1,\ldots,n are of possibly different lengths for different units. In particular, we now have that y_i is (j_i \times 1), where j_i is the number of observations on unit i. The total number of observations from all units is N =\sum_{i=1}^n j_i. The ydat are the collection of data vectors y_i, i = 1,\ldots,n one from each unit which summarize all the data together in a single, long vector of length N.

id

An index for individuals or clusters.

tvec

A vector with the time indicator of individuals or clusters.

margmodel

Indicates the marginal model. Choices are “poisson” for Poisson, “bernoulli” for Bernoulli, and “nb1” , “nb2” for the NB1 and NB2 parametrization of negative binomial in Cameron and Trivedi (1998).

link

The link function. Choices are “log” for the log link function, “logit” for the logit link function, and “probit” for the probit link function.

Details

If the W_{i,\rm working} are assumed fixed for the second stage of solving the weighted scores equations

g_1= g_1(a)=\sum_{i=1}^n X_i^T\, W_{i,\rm working}^{-1}\, s_i( a)=0,

the asymptotic covariance matrix of the solution \widehat a_1 is

V_1=(-D_{g_1})^{-1}M_{g_1}(-D^T_{g_1})^{-1}

with

-D_{g_1} =\sum_{i=1}^n X_i^T W_{i,\rm working}^{-1}\Delta_i X_i,

M_{ g_1} = \sum_{i=1}^n X_i^T W_{i,\rm working}^{-1} \Omega_{i,\rm true}( W_{i,\rm working}^{-1})^T X_i,

where \Omega_{i,\rm true} is the true covariance matrix of s_i(a). The inverse of V_1 is known as Godambe information matrix (Godambe, 1991).

Note that godambe.ord is a variant of the code for ordinal (probit and logistic) regression.

Value

The inverse Godambe matrix.

Author(s)

Aristidis K. Nikoloulopoulos [e-mail]
Harry Joe [e-mail]

References

Godambe, V. P. (1991) Estimating Functions. Oxford: Oxford University Press

Nikoloulopoulos, A.K., Joe, H. and Chaganty, N.R. (2011) Weighted scores method for regression models with dependent data. Biostatistics, 12, 653–665. doi: 10.1093/biostatistics/kxr005.

Nikoloulopoulos, A.K. (2016) Correlation structure and variable selection in generalized estimating equations via composite likelihood information criteria. Statistics in Medicine, 35, 2377–2390. doi: 10.1002/sim.6871.

Nikoloulopoulos, A.K. (2017) Weighted scores method for longitudinal ordinal data. Arxiv e-prints, <arXiv:1510.07376>. https://arxiv.org/abs/1510.07376.

See Also

wtsc, solvewtsc, weightMat, wtsc.wrapper

Examples

################################################################################
#                           Poisson regression 
################################################################################
################################################################################
#                      read and set up the data set
################################################################################
data(childvisit)
# covariates
season1<-childvisit$q
season1[season1>1]<-0
xdat<-cbind(1,childvisit$sex,childvisit$age,childvisit$m,season1)
# response
ydat<-childvisit$hosp
#id
id<-childvisit$id
#time
tvec<-childvisit$q
################################################################################
#                      select the marginal model
################################################################################
margmodel="poisson"
################################################################################
#                      select the  correlation structure
################################################################################
corstr="exch"
################################################################################
#                      perform CL1 estimation
################################################################################
i.est<-iee(xdat,ydat,margmodel)
cat("\niest: IEE estimates\n")
print(c(i.est$reg,i.est$gam))
est.rho<-cl1(b=i.est$reg,gam=i.est$gam,xdat,ydat,id,tvec,margmodel,corstr)
cat("\nest.rho: CL1 estimates\n")
print(est.rho$e)
################################################################################
#                      obtain the fixed weight matrices
################################################################################
WtScMat<-weightMat(b=i.est$reg,gam=i.est$gam,rh=est.rho$e,
xdat,ydat,id,tvec,margmodel,corstr)
################################################################################
#                      obtain the weighted scores estimates
################################################################################
# solve the nonlinear system of equations
ws<-solvewtsc(start=c(i.est$reg,i.est$gam),WtScMat,xdat,ydat,id,
tvec,margmodel,link)
cat("ws=parameter estimates\n")
print(ws$r)
################################################################################
#                      obtain the inverse Godambe matrix
################################################################################
acov<-godambe(ws$r,WtScMat,xdat,ydat,id,tvec,margmodel)
cat("\nacov: inverse Godambe matrix with W based on first-stage wt
matrices\n")
print(acov)
################################################################################
#                         Ordinal regression 
################################################################################
################################################################################
#                      read and set up data set
################################################################################

data(arthritis)
nn=nrow(arthritis)
bas2<-bas3<-bas4<-bas5<-rep(0,nn)
bas2[arthritis$b==2]<-1
bas3[arthritis$b==3]<-1
bas4[arthritis$b==4]<-1
bas5[arthritis$b==5]<-1
t2<-t3<-rep(0,nn)
t2[arthritis$ti==3]<-1
t3[arthritis$ti==5]<-1
xdat=cbind(t2,t3,arthritis$trt,bas2,bas3,bas4,bas5,arthritis$age) 
ydat=arthritis$y
id<-arthritis$id
#time
tvec<-arthritis$time
################################################################################
#                      select the link
################################################################################
link="probit"
################################################################################
#                      select the  correlation structure
################################################################################
corstr="exch"
################################################################################
#                      perform CL1 estimation
################################################################################
i.est<-iee.ord(xdat,ydat,link)
cat("\niest: IEE estimates\n")
print(c(i.est$reg,i.est$gam))
est.rho<-cl1.ord(b=i.est$reg,gam=i.est$gam,xdat,ydat,id,tvec,corstr,link)
cat("\nest.rho: CL1 estimates\n")
print(est.rho$e)
################################################################################
#                      obtain the fixed weight matrices
################################################################################
WtScMat<-weightMat.ord(b=i.est$reg,gam=i.est$gam,rh=est.rho$e,xdat,ydat,id,
tvec,corstr,link)
################################################################################
#                      obtain the weighted scores estimates
################################################################################
# solve the nonlinear system of equations
ws<-solvewtsc.ord(start=c(i.est$reg,i.est$gam),WtScMat,xdat,ydat,id,
tvec,link)
cat("ws=parameter estimates\n")
print(ws$r)
################################################################################
#                      obtain the inverse Godambe matrix
################################################################################
acov<-godambe.ord(ws$r,WtScMat,xdat,ydat,id,tvec,link)
cat("\nacov: inverse Godambe matrix with W based on first-stage wt
matrices\n")
print(acov)